Statistika

Simpangan baku dan varians: rumus, cara hitung, dan contoh soal

Simpangan baku mengukur seberapa jauh data menyebar dari rata-ratanya. Varians adalah kuadrat dari simpangan baku.

Biasanya keluar di ujian sebagai soal hitung varians dan simpangan baku dari data mentah atau tabel frekuensi, sering ditambah pertanyaan apakah datanya sampel atau populasi.

Belajar topik ini bareng Naomi
Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Konsepnya, satu per satu

  1. Simpangan adalah jarak data dari rata-rata

    Untuk tiap data xix_i, simpangannya adalah xi−xˉx_i - \bar{x}. Data di atas rata-rata punya simpangan positif, di bawah rata-rata negatif.

    Kalau semua simpangan dijumlahkan, hasilnya selalu 0: yang positif dan negatif saling menghapus. Karena itu simpangan dikuadratkan dulu sebelum dijumlahkan.

  2. Varians: rata-rata kuadrat simpangan

    Untuk data sampel (sebagian dari populasi), jumlah kuadrat simpangan dibagi n−1n - 1:

    s2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}

    Untuk data populasi (seluruh anggota), dibagi NN dan rata-ratanya ditulis μ\mu:

    σ2=∑(xi−μ)2N\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}

  3. Simpangan baku: akar dari varians

    s=s2s = \sqrt{s^2} dan σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}. Akar membuat satuannya kembali sama dengan data. Kalau datanya dalam cm, varians dalam cm², simpangan baku kembali dalam cm.

    Makin besar simpangan baku, makin menyebar datanya. Simpangan baku 0 berarti semua data sama.

  4. Kenapa sampel dibagi n − 1?

    Rata-rata sampel xˉ\bar{x} dihitung dari data itu sendiri. Akibatnya, jumlah kuadrat simpangan terhadap xˉ\bar{x} tidak pernah lebih besar daripada terhadap rata-rata populasi yang sebenarnya, dan biasanya lebih kecil. Membagi dengan nn membuat sebaran terlihat lebih kecil dari aslinya. Membagi dengan n−1n - 1 mengoreksi itu.

    Di soal kuliah: kalau soal menyebut "sampel", pakai n − 1. Kalau datanya seluruh populasi, pakai N.

  5. Data dalam tabel frekuensi

    Kalau nilai xix_i muncul fif_i kali, kuadrat simpangannya dikali frekuensi, dan n=∑fin = \sum f_i:

    s2=∑fi(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}

    Rumus cepat yang hasilnya sama: s2=∑fixi2−nxˉ2n−1s^2 = \dfrac{\sum f_i x_i^2 - n\bar{x}^2}{n - 1}.

Contoh soal dan pembahasan

Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasannya.

Contoh 1

Nilai kuis 5 mahasiswa yang diambil sebagai sampel: 6, 8, 7, 5, 9. Hitung varians dan simpangan baku sampelnya.

Lihat pembahasan

  1. Rata-rata: xˉ=6+8+7+5+95=355=7\bar{x} = \frac{6 + 8 + 7 + 5 + 9}{5} = \frac{35}{5} = 7.

  2. Simpangan tiap data: −1,1,0,−2,2-1, 1, 0, -2, 2. Kuadratnya: 1,1,0,4,41, 1, 0, 4, 4.

  3. Jumlah kuadrat simpangan: 1+1+0+4+4=101 + 1 + 0 + 4 + 4 = 10.

  4. Varians sampel: s2=105−1=104=2,5s^2 = \frac{10}{5 - 1} = \frac{10}{4} = 2{,}5.

  5. Simpangan baku: s=2,5≈1,58s = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58.

Jawaban

s2=2,5s^2 = 2{,}5 dan s≈1,58s \approx 1{,}58.

Contoh 2

Jumlah buku yang dibaca setahun oleh semua anggota sebuah klub baca (5 orang): 10, 14, 12, 18, 16. Hitung simpangan bakunya. Berapa hasilnya kalau data ini dianggap sampel?

Lihat pembahasan

  1. Datanya seluruh anggota klub, jadi ini populasi. Rata-rata: μ=705=14\mu = \frac{70}{5} = 14.

  2. Simpangan: −4,0,−2,4,2-4, 0, -2, 4, 2. Kuadratnya: 16,0,4,16,416, 0, 4, 16, 4. Jumlahnya 4040.

  3. Varians populasi: σ2=405=8\sigma^2 = \frac{40}{5} = 8, jadi σ=8≈2,83\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83.

  4. Kalau dianggap sampel: s2=404=10s^2 = \frac{40}{4} = 10, jadi s=10≈3,16s = \sqrt{10} \approx 3{,}16.

Jawaban

Populasi: σ≈2,83\sigma \approx 2{,}83. Kalau sampel: s≈3,16s \approx 3{,}16. Pembaginya yang membuat beda.

Contoh 3

Sampel nilai tugas 10 mahasiswa disajikan dalam tabel frekuensi berikut. Hitung varians dan simpangan bakunya.

Lihat pembahasan

  1. n=1+3+4+2=10n = 1 + 3 + 4 + 2 = 10 dan ∑fixi=2+12+24+16=54\sum f_i x_i = 2 + 12 + 24 + 16 = 54, jadi xˉ=5410=5,4\bar{x} = \frac{54}{10} = 5{,}4.

  2. Kuadrat simpangan dikali frekuensi (lihat tabel), jumlahnya ∑fi(xi−xˉ)2=32,4\sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 32{,}4.

  3. Varians sampel: s2=32,410−1=3,6s^2 = \frac{32{,}4}{10 - 1} = 3{,}6.

  4. Cek dengan rumus cepat: ∑fixi2=4+48+144+128=324\sum f_i x_i^2 = 4 + 48 + 144 + 128 = 324, lalu 324−10⋅5,429=324−291,69=3,6\frac{324 - 10 \cdot 5{,}4^2}{9} = \frac{324 - 291{,}6}{9} = 3{,}6. Sama.

  5. Simpangan baku: s=3,6≈1,90s = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90.

Nilai (x)Frekuensi (f)x − x̄(x − x̄)²f · (x − x̄)²
21−3,411,5611,56
43−1,41,965,88
640,60,361,44
822,66,7613,52
Jumlah1032,4

Geser tabel ke samping untuk melihat semua kolom.

Jawaban

s2=3,6s^2 = 3{,}6 dan s≈1,90s \approx 1{,}90.

Contoh 4

Simpangan baku sekumpulan data adalah 3. Setiap data ditambah 5, lalu hasilnya dikali 2. Berapa simpangan baku dan varians data yang baru?

Lihat pembahasan

  1. Menambah 5 ke semua data menggeser rata-rata sejauh 5 juga, jadi jarak tiap data ke rata-rata tidak berubah. Simpangan baku tetap 3.

  2. Mengalikan semua data dengan 2 membuat semua jarak ke rata-rata ikut dua kali lipat. Simpangan baku menjadi 2 · 3 = 6.

  3. Varians adalah kuadratnya: 62=366^2 = 36. Perhatikan, varians berubah dengan faktor 22=42^2 = 4, bukan 2.

Jawaban

Simpangan baku baru 6, varians baru 36.

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Membagi dengan n untuk data sampel

Ini kesalahan paling umum. Di contoh 1, membagi dengan 5 memberi s2=2s^2 = 2, bukan 2,5. Baca kalimat soalnya: kata "sampel" berarti pembaginya n−1n - 1.

Lupa mengakarkan

Soal minta simpangan baku, tapi yang ditulis varians. Setelah dapat varians, selalu tanya dirimu: yang diminta yang mana?

Membulatkan rata-rata terlalu awal

Kalau xˉ=5,4\bar{x} = 5{,}4 dibulatkan jadi 5 sebelum menghitung simpangan, semua kuadrat ikut meleset dan jawabannya bisa jauh berbeda. Bulatkan di langkah terakhir saja.

Kuis singkat: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Data sampel: 4, 6, 8. Berapa simpangan baku sampelnya?

Soal 2Varians sekumpulan data adalah 4. Kalau setiap data dikali 3, berapa variansnya sekarang?

Soal 3Varians sampel sebuah data adalah 2,25. Berapa simpangan bakunya?

Yang sering ditanya

Kapan pakai pembagi n − 1 dan kapan n?

Pakai n − 1 kalau datanya sampel, yaitu sebagian dari populasi yang dipakai untuk menaksir. Pakai n (atau N) kalau datanya mencakup seluruh populasi. Kalau soal tidak menyebut apa-apa, ikuti kebiasaan dosen atau buku pegangan matkulmu.

Simpangan baku bisa negatif?

Tidak. Simpangan baku adalah akar dari varians, dan varians adalah jumlah kuadrat dibagi bilangan positif. Nilai terkecilnya 0, yaitu kalau semua data sama.

Apa beda simpangan baku dan standard error?

Simpangan baku mengukur sebaran data. Standard error (galat baku) mengukur sebaran rata-rata sampel, dihitung dari simpangan baku dibagi akar n. Standard error dipakai di uji t dan interval kepercayaan.

Standar deviasi sama dengan simpangan baku?

Sama. Standar deviasi adalah serapan dari standard deviation. Buku berbahasa Indonesia lebih sering memakai istilah simpangan baku.

Ujian Statistika sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Statistika mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Belajar topik ini bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026