Latihan UAS Kalkulus

Soal UAS Kalkulus 1 dan pembahasannya: 13 soal latihan limit, turunan, dan integral

Q: Bab apa saja yang biasanya keluar di UAS Kalkulus 1?

Umumnya limit dan kontinuitas, teknik turunan (hasil kali, hasil bagi, rantai, implisit), penerapan turunan (garis singgung, maksimum-minimum, laju yang berkaitan), lalu integral tak tentu dan tentu dengan substitusi. Beberapa kampus menambah integral parsial dan luas daerah. Cocokkan dengan silabus atau kisi-kisi dari dosenmu.

Q: Integral parsial masuk Kalkulus 1 atau Kalkulus 2?

Tergantung kampus. Banyak kampus mengajarkannya di Kalkulus 2 bersama teknik pengintegralan lain, tapi ada juga yang memasukkannya di akhir Kalkulus 1. Kalau ragu, latih saja satu atau dua soal seperti soal 12, karena bentuk dasarnya sering keluar.

Q: Apakah ini soal UAS UT asli?

Bukan. Semua soal di halaman ini dibuat sendiri oleh NaomiStudy untuk latihan, tidak disalin dari ujian kampus mana pun, termasuk UT. NaomiStudy tidak berafiliasi dengan Universitas Terbuka.

Q: Berapa lama idealnya satu soal dikerjakan?

Kalau tekniknya sudah lancar, soal seperti ini biasanya selesai dalam 5 sampai 10 menit. Kalau satu soal makan lebih dari 15 menit, itu tanda bab tersebut perlu diulang dulu lewat halaman materinya.

Tiga belas soal latihan orisinal setipe soal UAS Kalkulus 1, dari limit sampai luas daerah, masing-masing dengan pembahasan langkah demi langkah.

Cocok untuk UAS Kalkulus 1 di kampus mana pun: teknik, informatika, matematika, sains, atau ekonomi. Mahasiswa UT yang sedang mengambil matkul kalkulus juga bisa memakainya untuk latihan; cocokkan babnya dengan modul yang kamu pegang. NaomiStudy tidak berafiliasi dengan Universitas Terbuka.

Siapkan UAS Kalkulus bareng Naomi

Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Kisi-kisi: bab yang biasanya keluar

Soal di bawah diurutkan mengikuti kisi-kisi ini. Kalau satu bab masih goyah, buka materinya dulu.

Limit dan kontinuitas
Soal 1–3
Limit bentuk $\frac{0}{0}$ dengan faktorisasi, limit di tak hingga bentuk akar dengan kali sekawan, dan syarat fungsi kontinu di sebuah titik.
Materi: Limit Fungsi
Teknik turunan
Soal 4–6
Aturan hasil bagi, aturan rantai untuk fungsi eksponen dan trigonometri, dan turunan implisit.
Materi: Aturan Rantai
Penerapan turunan
Soal 7–8
Persamaan garis singgung dan soal cerita nilai maksimum atau minimum (optimasi).
Integral tak tentu, integral tentu, dan substitusi
Soal 9–11
Integral bentuk pangkat (termasuk pangkat negatif dan pecahan), teorema dasar kalkulus, dan substitusi dengan batas yang ikut diganti.
Materi: Integral Substitusi
Integral parsial dan luas daerah
Soal 12–13
Integral parsial untuk $\ln x$ dan luas daerah di antara dua kurva. Integral parsial lebih sering masuk Kalkulus 2, tapi sebagian kampus sudah mengujikannya di akhir Kalkulus 1.
Materi: Integral Parsial

Soal latihan dan pembahasan

Kerjakan dulu di kertas, baru buka pembahasannya. Nilai uraian biasanya dari langkahnya, jadi tulis rumus dan hitunganmu.

Soal 1

Limit dan kontinuitas

Hitung $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$ .

Lihat pembahasan

Substitusi $x = -2$ : $\frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ . Bentuk tak tentu, jadi faktorkan.
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ dan $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
Coret faktor $(x + 2)$ : $\frac{x + 3}{x - 2}$ untuk $x \ne -2$ .
Substitusi lagi: $\frac{-2 + 3}{-2 - 2} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$ .

Jawaban

Limitnya $-\frac{1}{4}$ .

Belum paham? Pelajari materinya: Limit Fungsi

Soal 2

Limit dan kontinuitas

Hitung $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$ .

Lihat pembahasan

Substitusi langsung memberi bentuk $\infty - \infty$ . Kalikan dengan sekawan $\frac{\sqrt{x^2 + 6x} + x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$ .
Pembilang menjadi $(x^2 + 6x) - x^2 = 6x$ , jadi bentuknya $\frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$ .
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (untuk $x > 0$ , $\sqrt{x^2 + 6x} = x\sqrt{1 + \frac{6}{x}}$ ): $\frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x}} + 1}$ .
Saat $x \to \infty$ , $\frac{6}{x} \to 0$ , jadi limitnya $\frac{6}{1 + 1} = 3$ .

Jawaban

Limitnya 3.

Belum paham? Pelajari materinya: Limit Fungsi

Soal 3

Limit dan kontinuitas

Fungsi $f(x) = x^2 + k$ untuk $x < 2$ dan $f(x) = 3x - 1$ untuk $x \ge 2$ . Tentukan nilai $k$ supaya $f$ kontinu di $x = 2$ .

Lihat pembahasan

Syarat kontinu di $x = 2$ : limit kiri, limit kanan, dan $f(2)$ sama.
Limit kiri: $\lim_{x \to 2^-} (x^2 + k) = 4 + k$ .
Limit kanan dan nilai fungsi: $\lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 5$ dan $f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ .
$4 + k = 5$ , jadi $k = 1$ .

Jawaban

$k = 1$ .

Belum paham? Pelajari materinya: Limit Fungsi

Soal 4

Teknik turunan

Tentukan turunan $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , lalu hitung $f'(1)$ .

Lihat pembahasan

Aturan hasil bagi dengan $u = 2x + 1$ ( $u' = 2$ ) dan $v = x^2 + 1$ ( $v' = 2x$ ): $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
$f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$ .
$f'(1) = \frac{-2 - 2 + 2}{(1 + 1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ .

Jawaban

$f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$ dan $f'(1) = -\frac{1}{2}$ .

Belum paham? Pelajari materinya: Aturan Rantai

Soal 5

Teknik turunan

Tentukan turunan $y = e^{\sin 2x}$ dan nilainya di $x = 0$ .

Lihat pembahasan

Tiga lapis: $e^{(\cdot)}$ , lalu $\sin$ , lalu $2x$ .
Turunan tiap lapis: $e^{\sin 2x}$ , lalu $\cos 2x$ , lalu $2$ . Kalikan semuanya: $y' = 2\cos(2x)\, e^{\sin 2x}$ .
Di $x = 0$ : $y' = 2 \cdot \cos 0 \cdot e^{\sin 0} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ .

Jawaban

$y' = 2\cos(2x)\, e^{\sin 2x}$ , dan di $x = 0$ nilainya 2.

Belum paham? Pelajari materinya: Aturan Rantai

Soal 6

Teknik turunan

Kurva $x^2 + xy + y^2 = 7$ melalui titik $(1, 2)$ . Tentukan $\frac{dy}{dx}$ di titik itu.

Lihat pembahasan

Cek titiknya: $1 + 2 + 4 = 7$ . Benar di kurva.
Turunkan kedua ruas terhadap $x$ , dengan $y$ sebagai fungsi dari $x$ . Suku $xy$ memakai aturan hasil kali: $(xy)' = y + xy'$ .
$2x + y + xy' + 2yy' = 0$ , jadi $y'(x + 2y) = -(2x + y)$ dan $y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ .
Di $(1, 2)$ : $y' = -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$ .

Jawaban

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{5}$ di titik $(1, 2)$ .

Belum paham? Pelajari materinya: Aturan Rantai

Soal 7

Penerapan turunan

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y = x^3 - 3x + 2$ di titik yang absisnya $x = 2$ .

Lihat pembahasan

Titik singgung: $y(2) = 8 - 6 + 2 = 4$ , jadi titiknya $(2, 4)$ .
Gradien: $y' = 3x^2 - 3$ , jadi $m = y'(2) = 12 - 3 = 9$ .
$y - 4 = 9(x - 2)$ , jadi $y = 9x - 14$ .

Jawaban

$y = 9x - 14$ .

Soal 8

Penerapan turunan

Selembar karton persegi bersisi 24 cm dipotong persegi kecil bersisi $x$ cm di keempat sudutnya, lalu sisinya dilipat ke atas menjadi kotak tanpa tutup. Berapa $x$ supaya volume kotak maksimum, dan berapa volumenya?

Lihat pembahasan

Alas kotak berukuran $(24 - 2x) \times (24 - 2x)$ dan tingginya $x$ , jadi $V(x) = x(24 - 2x)^2$ dengan $0 < x < 12$ .
$V'(x) = (24 - 2x)^2 + x \cdot 2(24 - 2x)(-2) = (24 - 2x)(24 - 2x - 4x) = (24 - 2x)(24 - 6x)$ .
$V'(x) = 0$ memberi $x = 12$ atau $x = 4$ . $x = 12$ tidak mungkin (karton habis, volumenya 0), jadi titik kritisnya $x = 4$ .
Cek: $V' > 0$ untuk $0 < x < 4$ dan $V' < 0$ untuk $4 < x < 12$ , jadi $x = 4$ memberi maksimum.
$V(4) = 4 \cdot 16^2 = 1.024$ cm³.

Jawaban

$x = 4$ cm, dengan volume maksimum 1.024 cm³.

Soal 9

Integral tak tentu, integral tentu, dan substitusi

Hitung $\int \left(6x^2 - \dfrac{4}{x^3} + 3\sqrt{x}\right) dx$ .

Lihat pembahasan

Tulis semuanya sebagai pangkat: $6x^2 - 4x^{-3} + 3x^{1/2}$ .
Pakai $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ untuk tiap suku: $\int 6x^2\,dx = 2x^3$ , $\int -4x^{-3}\,dx = -4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = 2x^{-2}$ , dan $\int 3x^{1/2}\,dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}$ .
Gabungkan dan tambah konstanta: $2x^3 + \frac{2}{x^2} + 2x\sqrt{x} + C$ .

Jawaban

$2x^3 + \dfrac{2}{x^2} + 2x\sqrt{x} + C$ .

Belum paham? Pelajari materinya: Integral Substitusi

Soal 10

Integral tak tentu, integral tentu, dan substitusi

Hitung $\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$ .

Lihat pembahasan

Antiturunannya $F(x) = x^3 - x^2 + x$ .
$F(3) = 27 - 9 + 3 = 21$ dan $F(1) = 1 - 1 + 1 = 1$ .
$\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$ .

Jawaban

Hasilnya 20.

Belum paham? Pelajari materinya: Integral Substitusi

Soal 11

Integral tak tentu, integral tentu, dan substitusi

Hitung $\int_0^1 \dfrac{6x}{(x^2 + 1)^3}\,dx$ .

Lihat pembahasan

Pilih $u = x^2 + 1$ , jadi $du = 2x\,dx$ dan $6x\,dx = 3\,du$ .
Batas baru: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ , dan $x = 1 \Rightarrow u = 2$ .
$3\int_1^2 u^{-3}\,du = 3\left[-\frac{1}{2u^2}\right]_1^2 = 3\left(-\frac{1}{8} + \frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$ .

Jawaban

$\frac{9}{8}$ (= 1,125).

Belum paham? Pelajari materinya: Integral Substitusi

Soal 12

Integral parsial dan luas daerah

Hitung $\int_1^{e^2} \ln x\,dx$ .

Lihat pembahasan

Tidak ada perkalian yang terlihat, tapi integral parsial tetap bisa: $u = \ln x$ dan $dv = dx$ , jadi $du = \frac{1}{x}\,dx$ dan $v = x$ .
$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$ .
Pasang batas, dengan $\ln e^2 = 2$ dan $\ln 1 = 0$ : $\left[x\ln x - x\right]_1^{e^2} = (e^2 \cdot 2 - e^2) - (1 \cdot 0 - 1) = e^2 + 1$ .

Jawaban

$e^2 + 1 \approx 8{,}39$ .

Belum paham? Pelajari materinya: Integral Parsial

Soal 13

Integral parsial dan luas daerah

Hitung luas daerah yang dibatasi kurva $y = x^2$ dan garis $y = 2x + 3$ .

Lihat pembahasan

Titik potong: $x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$ , jadi $x = -1$ dan $x = 3$ .
Di antara keduanya garis ada di atas parabola (cek $x = 0$ : garis 3, parabola 0).
$L = \int_{-1}^{3} \left(2x + 3 - x^2\right) dx = \left[x^2 + 3x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{3}$ .
$= (9 + 9 - 9) - \left(1 - 3 + \frac{1}{3}\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$ .

Jawaban

$\frac{32}{3} \approx 10{,}67$ satuan luas.

Belum paham? Pelajari materinya: Integral Parsial

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Pembilang aturan hasil bagi tertukar

Rumusnya $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : turunan atas kali bawah, dikurangi atas kali turunan bawah. Kalau tertukar menjadi $uv' - u'v$ , tandanya terbalik. Di soal 4 hasilnya jadi $\frac{1}{2}$ , padahal $-\frac{1}{2}$ .

Titik kritis tidak dicek

Di soal 8, $V'(x) = 0$ punya dua jawaban, 4 dan 12. Tulis daerah asal ( $0 < x < 12$ ), buang yang di luar, lalu tunjukkan bahwa titiknya memang maksimum (tanda $V'$ atau turunan kedua). Tanpa itu, nilai biasanya dipotong.

Luas daerah bernilai negatif

Luas adalah integral dari kurva atas dikurangi kurva bawah. Di soal 13, menulis $x^2 - (2x + 3)$ memberi $-\frac{32}{3}$ . Cek dengan satu titik uji mana yang di atas, dan ingat luas tidak pernah negatif.

Kuis pilihan ganda: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Berapa $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{3x}$ ?

Soal 2Turunan dari $y = x^2 \sin x$ adalah …

Soal 3Berapa $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ ?

Yang sering ditanya

Bab apa saja yang biasanya keluar di UAS Kalkulus 1?

Umumnya limit dan kontinuitas, teknik turunan (hasil kali, hasil bagi, rantai, implisit), penerapan turunan (garis singgung, maksimum-minimum, laju yang berkaitan), lalu integral tak tentu dan tentu dengan substitusi. Beberapa kampus menambah integral parsial dan luas daerah. Cocokkan dengan silabus atau kisi-kisi dari dosenmu.

Integral parsial masuk Kalkulus 1 atau Kalkulus 2?

Tergantung kampus. Banyak kampus mengajarkannya di Kalkulus 2 bersama teknik pengintegralan lain, tapi ada juga yang memasukkannya di akhir Kalkulus 1. Kalau ragu, latih saja satu atau dua soal seperti soal 12, karena bentuk dasarnya sering keluar.

Apakah ini soal UAS UT asli?

Bukan. Semua soal di halaman ini dibuat sendiri oleh NaomiStudy untuk latihan, tidak disalin dari ujian kampus mana pun, termasuk UT. NaomiStudy tidak berafiliasi dengan Universitas Terbuka.

Berapa lama idealnya satu soal dikerjakan?

Kalau tekniknya sudah lancar, soal seperti ini biasanya selesai dalam 5 sampai 10 menit. Kalau satu soal makan lebih dari 15 menit, itu tanda bab tersebut perlu diulang dulu lewat halaman materinya.

Ujian Kalkulus sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Kalkulus mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Siapkan UAS Kalkulus bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026