Kalkulus

Integral substitusi: cara memilih u, mengganti batas, dan contoh soal

Integral substitusi adalah kebalikan dari aturan rantai: sebagian integran diganti dengan uu supaya integralnya jadi bentuk dasar.

Biasanya keluar di ujian sebagai integral tak tentu atau integral tentu yang berisi sebuah fungsi beserta turunannya, misalnya x2+1x^2 + 1 bersama xx, atau sin⁡x\sin x bersama cos⁡x\cos x.

Belajar topik ini bareng Naomi
Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Konsepnya, satu per satu

  1. Cirinya: ada fungsi dan turunannya

    Cari bagian integran yang turunannya juga muncul di integran (boleh beda faktor konstanta). Di ∫2x(x2+3)4 dx\int 2x(x^2 + 3)^4\,dx, turunan x2+3x^2 + 3 adalah 2x2x, dan 2x2x ada di depan.

  2. Empat langkah

    1) Pilih uu, biasanya "bagian dalam". 2) Hitung du=u′(x) dxdu = u'(x)\,dx. 3) Ganti semua xx dan dxdx dengan uu dan dudu. 4) Integralkan, lalu kembalikan ke xx.

    Kalau setelah diganti masih ada xx yang tersisa, pilihan uu-nya kurang tepat atau soalnya butuh teknik lain.

  3. Integral tentu: batasnya ikut diganti

    Kalau batas integral x=ax = a sampai x=bx = b, batas barunya u(a)u(a) sampai u(b)u(b). Dengan batas baru, kamu tidak perlu mengembalikan hasil ke xx.

  4. Kurang konstanta boleh, kurang x tidak

    ∫x2ex3 dx\int x^2 e^{x^3}\,dx bisa: dengan u=x3u = x^3, du=3x2 dxdu = 3x^2\,dx, jadi x2 dx=13dux^2\,dx = \frac{1}{3}du. Konstanta 13\frac{1}{3} tinggal dikeluarkan, dan hasilnya 13ex3+C\frac{1}{3}e^{x^3} + C.

    ∫ex3 dx\int e^{x^3}\,dx tidak bisa disubstitusi dengan u=x3u = x^3, karena faktor x2x^2 untuk dudu tidak ada. Konstanta bisa diatur, variabel tidak.

Contoh soal dan pembahasan

Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasannya.

Contoh 1

Hitung ∫2x(x2+3)4 dx\int 2x(x^2 + 3)^4\,dx.

Lihat pembahasan

  1. Pilih u=x2+3u = x^2 + 3, jadi du=2x dxdu = 2x\,dx.

  2. Integralnya menjadi ∫u4 du=u55+C\int u^4\,du = \frac{u^5}{5} + C.

  3. Kembalikan ke xx: (x2+3)55+C\frac{(x^2 + 3)^5}{5} + C.

Jawaban

(x2+3)55+C\dfrac{(x^2 + 3)^5}{5} + C.

Contoh 2

Hitung ∫xx2+1 dx\int \dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx.

Lihat pembahasan

  1. Pilih u=x2+1u = x^2 + 1, jadi du=2x dxdu = 2x\,dx dan x dx=12dux\,dx = \frac{1}{2}du.

  2. ∫1u⋅12 du=12ln⁡∣u∣+C\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C.

  3. Karena x2+1x^2 + 1 selalu positif, tanda mutlak boleh dilepas: 12ln⁡(x2+1)+C\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.

Jawaban

12ln⁡(x2+1)+C\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.

Contoh 3

Hitung ∫04xx2+9 dx\int_0^4 x\sqrt{x^2 + 9}\,dx.

Lihat pembahasan

  1. Pilih u=x2+9u = x^2 + 9, jadi du=2x dxdu = 2x\,dx dan x dx=12dux\,dx = \frac{1}{2}du.

  2. Batas baru: x=0⇒u=9x = 0 \Rightarrow u = 9, dan x=4⇒u=25x = 4 \Rightarrow u = 25.

  3. 12∫925u1/2 du=12⋅23[u3/2]925=13(253/2−93/2)\frac{1}{2}\int_9^{25} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_9^{25} = \frac{1}{3}\left(25^{3/2} - 9^{3/2}\right).

  4. 253/2=53=12525^{3/2} = 5^3 = 125 dan 93/2=33=279^{3/2} = 3^3 = 27, jadi hasilnya 13(125−27)=983≈32,67\frac{1}{3}(125 - 27) = \frac{98}{3} \approx 32{,}67.

Jawaban

983≈32,67\dfrac{98}{3} \approx 32{,}67.

Contoh 4

Hitung ∫0π/2sin⁡3xcos⁡x dx\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x\,dx.

Lihat pembahasan

  1. Pilih u=sin⁡xu = \sin x, jadi du=cos⁡x dxdu = \cos x\,dx.

  2. Batas baru: x=0⇒u=0x = 0 \Rightarrow u = 0, dan x=π2⇒u=1x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow u = 1.

  3. ∫01u3 du=[u44]01=14\int_0^1 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}.

Jawaban

14\frac{1}{4}.

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Batas tidak diganti

Di contoh 3, memakai batas 0 dan 4 untuk uu memberi 13(43/2−0)=83\frac{1}{3}(4^{3/2} - 0) = \frac{8}{3}, jauh dari 983\frac{98}{3}. Pilih salah satu: ganti batasnya, atau kembalikan ke xx lalu pakai batas awal. Jangan dicampur.

dx tidak ikut diganti

Menulis ∫u4 dx\int u^4\,dx lalu mengintegralkan terhadap uu. Setiap substitusi harus mengganti dxdx dengan dudu beserta faktornya.

Lupa + C

Di integral tak tentu, jawaban tanpa +C+ C belum lengkap. Banyak dosen memotong nilai untuk ini.

Kuis singkat: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Untuk ∫cos⁡xsin⁡4x dx\int \cos x \sin^4 x\,dx, pilihan uu yang paling pas adalah …

Soal 2∫3x2(x3+1)2 dx=…\int 3x^2(x^3 + 1)^2\,dx = \ldots

Soal 3Pada ∫122x(x2−1)2 dx\int_1^2 2x(x^2 - 1)^2\,dx dengan u=x2−1u = x^2 - 1, batas integral yang baru adalah …

Yang sering ditanya

Kapan pakai substitusi, kapan integral parsial?

Substitusi kalau ada fungsi beserta turunannya (boleh beda konstanta). Integral parsial kalau ada perkalian dua jenis fungsi yang bukan turunan satu sama lain, misalnya x dikali e pangkat x, atau x dikali sin x.

Boleh tidak mengganti batas, asalkan hasilnya dikembalikan ke x dulu?

Boleh. Itu cara kedua: kembalikan ke x, lalu pakai batas awal. Yang salah adalah mencampur: hasil masih dalam u, tapi batasnya masih batas x.

Kenapa harus ada + C?

Turunan konstanta adalah nol, jadi setiap antiturunan bisa ditambah konstanta berapa saja. Di integral tak tentu, tanpa + C jawabanmu belum lengkap.

Ujian Kalkulus sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Kalkulus mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Belajar topik ini bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026