Kalkulus

Limit fungsi: cara menyelesaikan bentuk 0/0, limit di tak hingga, dan contoh soal

Limit adalah nilai yang didekati sebuah fungsi saat x mendekati suatu titik, walaupun fungsinya sendiri belum tentu terdefinisi di titik itu.

Biasanya keluar di ujian sebagai soal pembuka UTS Kalkulus: limit aljabar yang menghasilkan 00\frac{0}{0}, limit di tak hingga, dan (kalau sudah dipelajari) limit dengan aturan L'Hôpital.

Belajar topik ini bareng Naomi
Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Konsepnya, satu per satu

  1. Selalu coba substitusi dulu

    Masukkan nilai yang didekati ke fungsinya. Kalau fungsinya kontinu di titik itu (misalnya polinomial), hasil substitusinya langsung jadi limitnya. Contoh: lim⁡x→2(x2+1)=5\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5.

    Baru kalau hasilnya bentuk tak tentu seperti 00\frac{0}{0} atau ∞∞\frac{\infty}{\infty}, kamu perlu cara lain. Untuk fungsi sepotong-sepotong, di titik sambungnya hitung limit kiri dan limit kanan dulu.

  2. Bentuk 0/0: faktorkan atau kali sekawan

    Untuk pecahan polinomial, 00\frac{0}{0} saat x→cx \to c berarti pembilang dan penyebut sama-sama punya faktor (x−c)(x - c). Faktorkan, coret faktor itu, lalu substitusi lagi.

    Kalau ada bentuk akar seperti x−2\sqrt{x} - 2, kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya, x+2\sqrt{x} + 2, supaya akarnya hilang dari pembilang.

  3. Limit di tak hingga: bandingkan pangkat tertinggi

    Untuk pecahan polinomial saat x→∞x \to \infty, bagi semua suku dengan pangkat tertinggi penyebut. Hasilnya bergantung pada pangkat tertinggi pembilang dan penyebut:

    Pangkat pembilang lebih kecil: limitnya 0. Pangkat sama: limitnya perbandingan koefisien pangkat tertinggi. Pangkat pembilang lebih besar: limitnya tak hingga (positif atau negatif).

  4. Aturan L'Hôpital

    Kalau limitnya berbentuk 00\frac{0}{0} atau ∞∞\frac{\infty}{\infty}, turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah, lalu hitung limitnya lagi:

    lim⁡x→cf(x)g(x)=lim⁡x→cf′(x)g′(x)\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

    Syaratnya, limit di ruas kanan harus ada (atau tak hingga). Kalau hasilnya masih 00\frac{0}{0} atau ∞∞\frac{\infty}{\infty}, aturan ini boleh dipakai lagi. Kalau bentuknya bukan salah satu dari dua itu, jangan dipakai.

Contoh soal dan pembahasan

Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasannya.

Contoh 1

Hitung lim⁡x→3x2−9x−3\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}.

Lihat pembahasan

  1. Substitusi x=3x = 3 memberi 00\frac{0}{0}, jadi perlu difaktorkan.

  2. x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), jadi (x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 untuk x≠3x \ne 3.

  3. lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} (x + 3) = 6.

Jawaban

Limitnya 6.

Contoh 2

Hitung lim⁡x→4x−2x−4\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}.

Lihat pembahasan

  1. Substitusi memberi 00\frac{0}{0}. Ada bentuk akar, jadi kalikan dengan sekawan x+2\sqrt{x} + 2.

  2. Pembilang menjadi (x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4.

  3. x−4(x−4)(x+2)=1x+2\frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}.

  4. Substitusi x=4x = 4: 12+2=14\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}.

Jawaban

Limitnya 14\frac{1}{4} (= 0,25).

Contoh 3

Hitung lim⁡x→∞3x2−5x+16x2+2\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 5x + 1}{6x^2 + 2}.

Lihat pembahasan

  1. Bagi semua suku dengan x2x^2: 3−5x+1x26+2x2\frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{6 + \frac{2}{x^2}}.

  2. Saat x→∞x \to \infty, suku 5x\frac{5}{x}, 1x2\frac{1}{x^2}, dan 2x2\frac{2}{x^2} menuju 0.

  3. Sisanya 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}. Cocok dengan aturan cepat: pangkat sama, jadi perbandingan koefisien.

Jawaban

Limitnya 12\frac{1}{2}.

Contoh 4

Hitung lim⁡x→0ex−1−xx2\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}.

Lihat pembahasan

  1. Substitusi memberi 1−1−00=00\frac{1 - 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}. Faktorisasi tidak mudah, jadi pakai L'Hôpital.

  2. Turunkan terpisah: lim⁡x→0ex−12x\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}. Substitusi lagi: masih 00\frac{0}{0}.

  3. L'Hôpital sekali lagi: lim⁡x→0ex2=12\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}.

Jawaban

Limitnya 12\frac{1}{2}.

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Menyimpulkan "tidak ada" saat dapat 0/0

00\frac{0}{0} bukan jawaban dan bukan berarti limitnya tidak ada. Itu tanda bahwa fungsinya masih perlu diolah: difaktorkan, dikali sekawan, atau diturunkan.

L'Hôpital dengan aturan hasil bagi

L'Hôpital menurunkan pembilang dan penyebut masing-masing: f′g′\frac{f'}{g'}. Bukan turunan dari pecahannya (fg)′\left(\frac{f}{g}\right)'.

L'Hôpital untuk bentuk yang bukan tak tentu

lim⁡x→2x2+4x+2\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 4}{x + 2} langsung bisa disubstitusi: 84=2\frac{8}{4} = 2. Kalau L'Hôpital dipakai di sini, hasilnya 2x1\frac{2x}{1} di x=2x = 2, yaitu 4, dan itu salah.

Kuis singkat: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Berapa lim⁡x→2x2−4x−2\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}?

Soal 2Berapa lim⁡x→∞2x+1x2+3\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 3}?

Soal 3Berapa lim⁡x→1x2+1x+1\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 1}?

Yang sering ditanya

Apa bedanya 0/0 dan 1/0 pada limit?

0/0 adalah bentuk tak tentu: limitnya bisa berapa saja, jadi fungsinya perlu difaktorkan, dikali sekawan, atau diturunkan dengan L'Hôpital. Bilangan bukan nol dibagi nol (misalnya 1/0) berarti nilai fungsinya membesar tanpa batas; cek limit kiri dan kanan untuk tahu limitnya tak hingga atau tidak ada.

Boleh pakai L'Hôpital di ujian?

Tergantung dosen dan bab yang diujikan. Di bab awal limit, dosen sering meminta cara aljabar (faktorkan atau kali sekawan). Kalau soal tidak melarang, L'Hôpital sah dipakai untuk bentuk 0/0 dan ∞/∞.

Kapan sebuah limit tidak ada?

Kalau limit kiri dan limit kanan berbeda, atau nilainya membesar tanpa batas dengan arah yang berbeda. Contohnya limit 1/x saat x menuju 0: dari kanan menuju positif tak hingga, dari kiri menuju negatif tak hingga.

Ujian Kalkulus sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Kalkulus mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Belajar topik ini bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026