Kalkulus

Aturan rantai: cara menurunkan fungsi komposisi, langkah demi langkah

Aturan rantai menurunkan fungsi di dalam fungsi: turunan fungsi luar (isinya dibiarkan) dikali turunan fungsi dalam.

Biasanya keluar di ujian sebagai soal turunan fungsi berpangkat, akar, trigonometri, atau eksponen yang isinya bukan sekadar x, dan tersembunyi di soal laju yang berkaitan.

Belajar topik ini bareng Naomi
Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Konsepnya, satu per satu

  1. Kenali fungsi luar dan fungsi dalam

    Di y=(3x2+1)5y = (3x^2 + 1)^5, fungsi luarnya "sesuatu pangkat 5", fungsi dalamnya 3x2+13x^2 + 1. Di y=sin⁡(x2)y = \sin(x^2), luarnya sin⁡\sin, dalamnya x2x^2.

    Trik cepatnya: kalau kamu menghitung nilai fungsi ini dengan kalkulator, operasi apa yang kamu kerjakan terakhir? Itu fungsi luarnya.

  2. Rumusnya

    ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

    Dengan notasi Leibniz: kalau y=f(u)y = f(u) dan u=g(x)u = g(x), maka dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

  3. Rantai berlapis

    Fungsi bisa punya lebih dari dua lapis. sin⁡2(3x)\sin^2(3x) artinya (sin⁡(3x))2(\sin(3x))^2: lapis luar pangkat 2, lalu sin⁡\sin, lalu 3x3x. Turunkan dari luar ke dalam, dan kalikan semua turunannya.

  4. Digabung dengan aturan hasil kali

    Kalau fungsinya perkalian, misalnya x(2x+1)3x(2x + 1)^3, pakai aturan hasil kali (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv', dan pakai aturan rantai saat menurunkan faktor yang berupa komposisi.

Contoh soal dan pembahasan

Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasannya.

Contoh 1

Tentukan turunan y=(3x2+1)5y = (3x^2 + 1)^5.

Lihat pembahasan

  1. Luar: u5u^5 dengan u=3x2+1u = 3x^2 + 1. Turunan luar: 5u45u^4.

  2. Turunan dalam: dudx=6x\frac{du}{dx} = 6x.

  3. y′=5(3x2+1)4⋅6x=30x(3x2+1)4y' = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4.

Jawaban

y′=30x(3x2+1)4y' = 30x(3x^2 + 1)^4.

Contoh 2

Tentukan turunan y=x2+7y = \sqrt{x^2 + 7}, lalu hitung nilainya di x=3x = 3.

Lihat pembahasan

  1. Tulis sebagai pangkat: y=(x2+7)1/2y = (x^2 + 7)^{1/2}.

  2. y′=12(x2+7)−1/2⋅2x=xx2+7y' = \frac{1}{2}(x^2 + 7)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}}.

  3. Di x=3x = 3: 39+7=34=0,75\frac{3}{\sqrt{9 + 7}} = \frac{3}{4} = 0{,}75.

Jawaban

y′=xx2+7y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 7}}, dan di x=3x = 3 nilainya 0,75.

Contoh 3

Tentukan turunan y=sin⁡2(3x)y = \sin^2(3x).

Lihat pembahasan

  1. Tiga lapis: ( ⋅ )2(\,\cdot\,)^2, lalu sin⁡\sin, lalu 3x3x.

  2. Lapis 1: 2sin⁡(3x)2\sin(3x). Lapis 2: cos⁡(3x)\cos(3x). Lapis 3: 33.

  3. y′=2sin⁡(3x)⋅cos⁡(3x)⋅3=6sin⁡(3x)cos⁡(3x)y' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x).

  4. Bisa diringkas dengan 2sin⁡Acos⁡A=sin⁡2A2\sin A\cos A = \sin 2A: y′=3sin⁡(6x)y' = 3\sin(6x).

Jawaban

y′=6sin⁡(3x)cos⁡(3x)=3sin⁡(6x)y' = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x).

Contoh 4

Tentukan turunan y=x(2x+1)3y = x(2x + 1)^3.

Lihat pembahasan

  1. Aturan hasil kali dengan u=xu = x dan v=(2x+1)3v = (2x + 1)^3.

  2. u′=1u' = 1. Dengan aturan rantai, v′=3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)2v' = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2.

  3. y′=(2x+1)3+6x(2x+1)2y' = (2x + 1)^3 + 6x(2x + 1)^2.

  4. Faktorkan (2x+1)2(2x + 1)^2: y′=(2x+1)2[(2x+1)+6x]=(2x+1)2(8x+1)y' = (2x + 1)^2\left[(2x + 1) + 6x\right] = (2x + 1)^2(8x + 1).

Jawaban

y′=(2x+1)2(8x+1)y' = (2x + 1)^2(8x + 1).

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Lupa mengalikan turunan dalam

Menulis turunan (3x2+1)5(3x^2 + 1)^5 sebagai 5(3x2+1)45(3x^2 + 1)^4 saja. Faktor 6x6x dari turunan dalam hilang, dan jawabannya salah.

Isi fungsi luar ikut diubah

Turunan sin⁡(x2)\sin(x^2) adalah cos⁡(x2)⋅2x\cos(x^2) \cdot 2x, bukan cos⁡(2x)\cos(2x). Saat menurunkan fungsi luar, isinya dibiarkan apa adanya.

Rantai berhenti terlalu cepat

Di fungsi berlapis seperti sin⁡2(3x)\sin^2(3x), faktor 3 dari lapis paling dalam sering terlupa. Hitung jumlah lapisnya dulu, lalu pastikan jumlah faktor turunannya sama.

Kuis singkat: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Turunan dari y=(2x−1)4y = (2x - 1)^4 adalah …

Soal 2Turunan dari y=cos⁡(x2)y = \cos(x^2) adalah …

Soal 3Untuk y=e3xy = e^{3x}, berapa nilai y′y' di x=0x = 0?

Yang sering ditanya

Bagaimana tahu sebuah fungsi butuh aturan rantai?

Lihat apakah ada fungsi yang isinya bukan x saja. Kalau di dalam kurung yang dipangkatkan, di dalam akar, sin, cos, ln, atau di pangkat e ada ekspresi seperti 3x² + 1, kamu butuh aturan rantai.

Apa hubungan aturan rantai dengan integral substitusi?

Integral substitusi adalah kebalikan aturan rantai. Kalau kamu lancar melihat fungsi dalam saat menurunkan, kamu juga lebih cepat menemukan u yang tepat saat mengintegralkan.

Notasi dy/du kali du/dx boleh dicoret seperti pecahan?

Sebagai alat bantu ingat, boleh dibayangkan begitu. Secara formal itu bukan pecahan biasa, tapi hasilnya sama dengan rumus turunan luar kali turunan dalam.

Ujian Kalkulus sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Kalkulus mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Belajar topik ini bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026