Kalkulus

Integral parsial: rumus, cara memilih u, metode tabel, dan contoh soal

Integral parsial mengubah integral hasil kali $\int u\,dv$ menjadi $uv - \int v\,du$ , supaya integral yang sulit diganti dengan integral yang lebih mudah.

Biasanya keluar di ujian sebagai integral hasil kali dua jenis fungsi, misalnya $x$ dengan $e^{x}$ , $x$ dengan $\cos x$ , atau $x^2$ dengan $\ln x$ , kadang sebagai integral tentu atau soal yang butuh parsial dua kali.

Belajar topik ini bareng Naomi

Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Konsepnya, satu per satu

Rumusnya berasal dari aturan hasil kali
Aturan turunan hasil kali: $(uv)' = u'v + uv'$ . Integralkan kedua ruas dan susun ulang, hasilnya:
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Untuk integral tentu, bagian $uv$ juga dihitung di kedua batas: $\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$ .
Memilih u dengan urutan LIATE
Pilih $u$ yang makin sederhana kalau diturunkan, dan $dv$ yang mudah diintegralkan. Urutan bantu LIATE: Logaritma, Invers trigonometri, Aljabar (polinomial), Trigonometri, Eksponen. Fungsi yang lebih dulu muncul di urutan ini dipilih sebagai $u$ .
Di $\int x\cos x\,dx$ , $x$ (aljabar) lebih dulu dari $\cos x$ (trigonometri), jadi $u = x$ . Di $\int x^2 \ln x\,dx$ , $\ln x$ (logaritma) lebih dulu, jadi $u = \ln x$ . Bahkan $\int \ln x\,dx$ bisa diparsialkan dengan $u = \ln x$ dan $dv = dx$ .
Lima langkah
1) Pilih $u$ dan $dv$ . 2) Hitung $du$ (turunkan $u$ ) dan $v$ (integralkan $dv$ , tanpa $+C$ ). 3) Masukkan ke $uv - \int v\,du$ . 4) Selesaikan $\int v\,du$ . 5) Tambahkan $+C$ di akhir.
Kalau $\int v\,du$ malah lebih sulit dari soal awal, pilihan $u$ -nya kemungkinan terbalik.
Metode tabel (tabular) untuk polinomial
Kalau $u$ berupa polinomial dan $dv$ berupa $e^{ax}$ , $\sin ax$ , atau $\cos ax$ , parsial harus diulang beberapa kali. Metode tabel meringkasnya: kolom kiri menurunkan $u$ sampai 0, kolom kanan mengintegralkan $dv$ berulang. Lalu kalikan tiap isi kolom kiri dengan isi kolom kanan satu baris di bawahnya, dengan tanda $+, -, +, -, \ldots$ dari baris pertama.
Contoh $\int x^3 e^x\,dx$ : hasil kali menyilangnya $x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C = e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C$ .
Tanda Turunkan u Integralkan dv
+ $x^3$ $e^x$
− $3x^2$ $e^x$
+ $6x$ $e^x$
− 6 $e^x$
0 $e^x$
Parsial berulang yang kembali ke soal awal
Untuk $e^{x}$ dikali $\sin x$ atau $\cos x$ , tidak ada yang turunannya menjadi 0. Setelah dua kali parsial, integral awal muncul lagi di ruas kanan. Pindahkan ke ruas kiri, lalu bagi dua (lihat contoh 5).

Tanda	Turunkan u	Integralkan dv
+	$x^3$	$e^x$
−	$3x^2$	$e^x$
+	$6x$	$e^x$
−	6	$e^x$
	0	$e^x$

Contoh soal dan pembahasan

Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasannya.

Contoh 1

Hitung $\int x\cos x\,dx$ .

Lihat pembahasan

LIATE: $x$ (aljabar) lebih dulu dari $\cos x$ (trigonometri), jadi $u = x$ dan $dv = \cos x\,dx$ .
$du = dx$ dan $v = \sin x$ .
$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x - (-\cos x) + C$ .

Jawaban

$x\sin x + \cos x + C$ .

Contoh 2

Hitung $\int x^2 \ln x\,dx$ .

Lihat pembahasan

LIATE: $\ln x$ (logaritma) lebih dulu, jadi $u = \ln x$ dan $dv = x^2\,dx$ .
$du = \frac{1}{x}\,dx$ dan $v = \frac{x^3}{3}$ .
$\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^2}{3}\,dx$ .
$\int \frac{x^2}{3}\,dx = \frac{x^3}{9}$ , jadi hasilnya $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ .

Jawaban

$\dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C$ .

Contoh 3

Hitung $\int x^2 e^{3x}\,dx$ dengan metode tabel.

Lihat pembahasan

$u = x^2$ diturunkan sampai 0: $x^2, 2x, 2, 0$ . $dv = e^{3x}\,dx$ diintegralkan berulang: $e^{3x}, \frac{1}{3}e^{3x}, \frac{1}{9}e^{3x}, \frac{1}{27}e^{3x}$ .
Kalikan menyilang dengan tanda $+, -, +$ (lihat tabel): $\frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{9}x e^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C$ .
Keluarkan $\frac{e^{3x}}{27}$ : $\frac{e^{3x}}{27}(9x^2 - 6x + 2) + C$ .

Tanda	Turunkan u	Integralkan dv
+	$x^2$	$e^{3x}$
−	$2x$	$\frac{1}{3}e^{3x}$
+	2	$\frac{1}{9}e^{3x}$
	0	$\frac{1}{27}e^{3x}$

Jawaban

$\dfrac{e^{3x}}{27}\left(9x^2 - 6x + 2\right) + C$ .

Contoh 4

Hitung $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ .

Lihat pembahasan

$u = x$ dan $dv = \sin x\,dx$ , jadi $du = dx$ dan $v = -\cos x$ .
$\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx$ .
$\big[-x\cos x\big]_0^{\pi} = -\pi\cos\pi - 0 = -\pi \cdot (-1) = \pi$ .
$\int_0^{\pi} \cos x\,dx = \big[\sin x\big]_0^{\pi} = 0 - 0 = 0$ .

Jawaban

$\pi \approx 3{,}14$ .

Contoh 5

Hitung $\int e^{x}\cos x\,dx$ .

Lihat pembahasan

Sebut integralnya $I$ . Parsial pertama dengan $u = \cos x$ dan $dv = e^x\,dx$ , jadi $du = -\sin x\,dx$ dan $v = e^x$ : $I = e^x\cos x - \int e^x(-\sin x)\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx$ .
Parsial kedua untuk $\int e^x \sin x\,dx$ dengan $u = \sin x$ dan $dv = e^x\,dx$ , jadi $du = \cos x\,dx$ dan $v = e^x$ : $\int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - I$ .
Gabungkan: $I = e^x\cos x + e^x\sin x - I$ , jadi $2I = e^x(\sin x + \cos x)$ .
$I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$ .

Jawaban

$\dfrac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$ .

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

u dan dv tertukar

Di $\int x e^x\,dx$ , memilih $u = e^x$ dan $dv = x\,dx$ memberi $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ , yang malah lebih sulit. Pakai urutan LIATE, dan kalau integral sisanya makin rumit, tukar pilihanmu.

Tanda minus hilang

Ada dua tempat rawan: tanda minus di rumus $uv - \int v\,du$ , dan integral $\sin x$ yang hasilnya $-\cos x$ . Di metode tabel, tandanya harus berganti $+, -, +, -$ di setiap baris.

Batas hanya dipasang di sebagian

Di integral tentu, $\big[uv\big]_a^b$ juga dihitung di kedua batas. Di contoh 4, melupakan bagian ini membuat hasilnya 0, padahal $\pi$ .

Kuis singkat: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Untuk $\int x\ln x\,dx$ , pilihan $u$ dan $dv$ yang paling tepat adalah …

Soal 2 $\int x\cos 3x\,dx = \ldots$

Soal 3Berapa $\int_0^1 x e^x\,dx$ ?

Yang sering ditanya

Bagaimana tahu sebuah integral harus diparsialkan?

Coba substitusi dulu: kalau ada fungsi beserta turunannya, substitusi biasanya cukup. Integral parsial dipakai kalau integrannya hasil kali dua jenis fungsi yang bukan turunan satu sama lain, misalnya polinomial dikali eksponen, trigonometri, atau logaritma.

Apakah urutan LIATE selalu benar?

LIATE adalah aturan bantu, bukan rumus wajib, dan hampir selalu berhasil untuk soal kuliah. Pengecualian ada, misalnya x pangkat 3 dikali e pangkat x kuadrat: di sana dv dipilih x dikali e pangkat x kuadrat supaya v mudah dicari. Patokannya tetap sama: integral sisanya harus lebih mudah.

Kapan metode tabel boleh dipakai?

Paling enak kalau satu faktor adalah polinomial (turunannya akhirnya 0) dan faktor lain mudah diintegralkan berulang, seperti e pangkat ax, sin ax, atau cos ax. Hasilnya sama dengan parsial biasa, hanya lebih ringkas. Kalau dosen meminta langkah lengkap, tulis juga parsial satu per satu.

Kenapa v tidak perlu ditambah C?

Konstanta yang ditambahkan ke v akan saling menghapus di uv dikurangi integral v du, jadi hasil akhirnya sama. Cukup tulis satu + C di jawaban akhir.

Ujian Kalkulus sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Kalkulus mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Belajar topik ini bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026

Konsepnya, satu per satu

Rumusnya berasal dari aturan hasil kali

Memilih u dengan urutan LIATE

Lima langkah

Metode tabel (tabular) untuk polinomial

Parsial berulang yang kembali ke soal awal

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Contoh 5

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

u dan dv tertukar

Tanda minus hilang

Batas hanya dipasang di sebagian

Kuis singkat: 3 soal

Yang sering ditanya

Ujian Kalkulus sebentar lagi?