Matematika Diskrit

Tabel kebenaran: implikasi, biimplikasi, 3 variabel, dan tautologi, dengan contoh soal

Tabel kebenaran mendaftar semua kemungkinan nilai benar (B) dan salah (S) dari proposisi-proposisinya, lalu menghitung nilai pernyataan majemuk baris demi baris.

Biasanya keluar di ujian sebagai soal "buatlah tabel kebenaran dari …" dengan 2 atau 3 variabel, menentukan apakah sebuah pernyataan tautologi, kontradiksi, atau kontingensi, dan membuktikan dua pernyataan ekuivalen.

Belajar topik ini bareng Naomi

Pelajaran pertama gratisTanpa kartuBisa dari HP

Konsepnya, satu per satu

Proposisi dan operator logika dasar
Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar (B) atau salah (S), tidak keduanya. Operator logika dasarnya: negasi $\neg p$ ("tidak p"), konjungsi $p \wedge q$ ("p dan q"), dan disjungsi $p \vee q$ ("p atau q"). Konjungsi dan disjungsi menggabungkan dua proposisi menjadi pernyataan majemuk.
Konjungsi hanya benar kalau keduanya benar. Disjungsi hanya salah kalau keduanya salah.
p q ¬p p ∧ q p ∨ q
B B S B B
B S S S B
S B B S B
S S B S S
Implikasi dan biimplikasi
Implikasi $p \rightarrow q$ ("jika p maka q") hanya salah di baris B → S: p benar tapi q salah. Bayangkan janji "kalau hujan, aku bawa payung". Janjinya hanya dilanggar kalau hujan dan payungnya tidak dibawa. Kalau tidak hujan, janjinya tidak dilanggar, apa pun yang terjadi.
Biimplikasi $p \leftrightarrow q$ ("p jika dan hanya jika q") benar kalau nilai p dan q sama, dan salah kalau berbeda.
p q p → q p ↔ q
B B B B
B S S S
S B B S
S S B B
Banyak baris dan cara mengisinya
Dengan $n$ variabel ada $2^n$ baris: 4 baris untuk p dan q, 8 baris untuk p, q, dan r.
Supaya tidak ada kombinasi yang terlewat atau dobel, isi kolom pertama setengah B lalu setengah S (untuk 3 variabel: 4 B lalu 4 S), kolom kedua berganti tiap 2 baris, dan kolom ketiga berganti tiap baris. Lalu hitung kolom bantu dari yang paling dalam, misalnya isi kurung dulu.
Tautologi, kontradiksi, kontingensi
Lihat kolom terakhir. Semua B: tautologi, misalnya $p \vee \neg p$ . Semua S: kontradiksi, misalnya $p \wedge \neg p$ . Campuran B dan S: kontingensi.
p ¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p
B S B S
S B B S
Ekuivalen: kolomnya sama di setiap baris
Dua pernyataan ekuivalen ( $\equiv$ ) kalau kolom tabel kebenarannya sama persis. Yang paling sering dipakai:
$p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q \equiv \neg q \rightarrow \neg p$ (kontraposisi). De Morgan: $\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$ dan $\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$ . Negasi implikasi: $\neg(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \neg q$ .

p	q	¬p	p ∧ q	p ∨ q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	S

p	q	p → q	p ↔ q
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	B	S
S	S	B	B

p	¬p	p ∨ ¬p	p ∧ ¬p
B	S	B	S
S	B	B	S

Contoh soal dan pembahasan

Coba kerjakan dulu, baru buka pembahasannya.

Contoh 1

Buatlah tabel kebenaran dari $p \rightarrow \neg q$ .

Lihat pembahasan

Dua variabel, jadi 4 baris. Hitung kolom bantu $\neg q$ dulu.
Lalu implikasi dari kolom $p$ ke kolom $\neg q$ : salah hanya kalau $p$ = B dan $\neg q$ = S, yaitu di baris pertama.

p	q	¬q	p → ¬q
B	B	S	S
B	S	B	B
S	B	S	B
S	S	B	B

Jawaban

Kolom $p \rightarrow \neg q$ : S, B, B, B. Pernyataannya salah hanya kalau p dan q sama-sama benar (kontingensi).

Contoh 2

Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa $[(p \rightarrow q) \wedge p] \rightarrow q$ adalah tautologi.

Lihat pembahasan

Kolom bantu: $p \rightarrow q$ , lalu $(p \rightarrow q) \wedge p$ .
Kolom terakhir (Hasil) adalah implikasi dari $(p \rightarrow q) \wedge p$ ke $q$ . Kolom $(p \rightarrow q) \wedge p$ hanya B di baris pertama, dan di baris itu $q$ = B, jadi tidak pernah ada B → S.
Semua baris kolom Hasil bernilai B.

p	q	p → q	(p → q) ∧ p	Hasil
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Jawaban

Semua baris bernilai B, jadi pernyataannya tautologi. Bentuk ini adalah aturan penarikan kesimpulan modus ponens.

Contoh 3

Tentukan apakah $(p \leftrightarrow q) \wedge (p \wedge \neg q)$ tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.

Lihat pembahasan

Kolom $p \leftrightarrow q$ : B kalau nilai p dan q sama, jadi B, S, S, B.
Kolom $p \wedge \neg q$ : B hanya kalau p benar dan q salah, jadi S, B, S, S.
Hasil adalah konjungsi kedua kolom itu. Tidak ada baris yang keduanya B, jadi semua barisnya S.

p	q	p ↔ q	p ∧ ¬q	Hasil
B	B	B	S	S
B	S	S	B	S
S	B	S	S	S
S	S	B	S	S

Jawaban

Kontradiksi: semua barisnya S. Masuk akal, karena p ↔ q butuh nilai p dan q sama, sedangkan p ∧ ¬q butuh keduanya berbeda.

Contoh 4

Buatlah tabel kebenaran 3 variabel untuk $(p \vee q) \rightarrow r$ . Pada baris mana pernyataan ini bernilai salah?

Lihat pembahasan

Tiga variabel, jadi $2^3 = 8$ baris. Kolom p: 4 B lalu 4 S. Kolom q: berganti tiap 2 baris. Kolom r: berganti tiap baris.
Hitung kolom bantu $p \vee q$ : hanya S di dua baris terakhir, saat p dan q sama-sama salah.
Implikasi salah kalau $p \vee q$ = B dan $r$ = S. Itu terjadi di baris 2, 4, dan 6.

p	q	r	p ∨ q	(p ∨ q) → r
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	S	B
S	S	S	S	B

Jawaban

Salah di 3 baris: (B, B, S), (B, S, S), dan (S, B, S) untuk (p, q, r). Lima baris lainnya B, jadi pernyataannya kontingensi.

Contoh 5

Dari implikasi $p \rightarrow q$ , mana yang ekuivalen dengannya: konvers $q \rightarrow p$ atau kontraposisi $\neg q \rightarrow \neg p$ ? Buktikan dengan tabel kebenaran.

Lihat pembahasan

Hitung ketiga kolom. Ingat, implikasi hanya salah di baris B → S.
$q \rightarrow p$ salah di baris ke-3 ( $q$ = B, $p$ = S), sedangkan $p \rightarrow q$ salah di baris ke-2. Kolomnya berbeda.
$\neg q \rightarrow \neg p$ salah di baris ke-2 ( $\neg q$ = B, $\neg p$ = S), sama persis dengan $p \rightarrow q$ .
Invers $\neg p \rightarrow \neg q$ juga tidak ekuivalen: kolomnya B, B, S, B, sama dengan konvers.

p	q	p → q	q → p	¬q → ¬p
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Jawaban

Kontraposisi $\neg q \rightarrow \neg p$ ekuivalen dengan $p \rightarrow q$ . Konvers (dan invers) tidak.

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Implikasi dengan p salah dianggap salah

Baris S → B dan S → S pada implikasi bernilai B. Banyak yang menulis S di sini karena terasa aneh. Ingat: implikasi hanya salah di baris B → S.

Baris kurang atau dobel

Tiga variabel butuh $2^3 = 8$ baris. Kalau kolom p, q, r diisi asal, sering ada kombinasi yang dobel dan satu yang hilang. Pakai pola 4–4, 2–2, 1–1.

Negasi implikasi ditulis sebagai implikasi

Negasi dari $p \rightarrow q$ adalah $p \wedge \neg q$ ("p dan tidak q"), bukan $\neg p \rightarrow \neg q$ . Bentuk kedua itu invers, dan nilainya tidak selalu kebalikan dari implikasi awal.

Konvers dianggap sama dengan implikasi

"Jika p maka q" tidak sama dengan "jika q maka p". Yang ekuivalen adalah kontraposisinya, $\neg q \rightarrow \neg p$ (contoh 5).

Kuis singkat: 3 soal

Tanpa daftar. Pilih jawaban, pembahasannya langsung muncul.

Soal 1Tabel kebenaran $(p \wedge q) \rightarrow r$ punya 8 baris. Berapa baris yang bernilai S?

Soal 2Negasi dari "Jika hari hujan, maka jalanan basah" adalah …

Soal 3Manakah yang merupakan tautologi?

Yang sering ditanya

Apa bedanya tabel kebenaran di logika matematika dan di gerbang logika?

Konsepnya sama. Gerbang logika memakai 1 dan 0, bukan B dan S. AND sama dengan konjungsi, OR sama dengan disjungsi, NOT sama dengan negasi, dan XNOR sama dengan biimplikasi. Implikasi jarang dipakai sebagai gerbang di rangkaian digital.

Kenapa implikasi bernilai benar kalau p salah?

Implikasi adalah janji bersyarat. Janji "kalau hujan, aku bawa payung" hanya dilanggar kalau hujan dan payungnya tidak dibawa. Kalau tidak hujan, janji itu tidak dilanggar, jadi nilainya benar, apa pun yang terjadi dengan payungnya.

Boleh pakai T dan F atau 1 dan 0, bukan B dan S?

Boleh. Artinya sama: T, 1, dan B berarti benar; F, 0, dan S berarti salah. Pakai lambang yang dipakai dosen atau buku pegangan matkulmu supaya tidak membingungkan pemeriksa.

Apa beda tautologi dan ekuivalen?

Tautologi adalah satu pernyataan yang kolom terakhirnya selalu B. Ekuivalen adalah hubungan dua pernyataan yang kolomnya sama persis. Keduanya terkait: A ekuivalen dengan B tepat ketika biimplikasi A dan B adalah tautologi.

Ujian Matematika Diskrit sebentar lagi?

Naomi cek dulu bagian Matematika Diskrit mana yang belum kamu bisa lewat beberapa soal, lalu ajarin itu aja.

Belajar topik ini bareng Naomi

Diperbarui 27 Oktober 2026

Konsepnya, satu per satu

Proposisi dan operator logika dasar

Implikasi dan biimplikasi

Banyak baris dan cara mengisinya

Tautologi, kontradiksi, kontingensi

Ekuivalen: kolomnya sama di setiap baris

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Contoh 5

Kesalahan yang paling sering bikin kehilangan nilai

Implikasi dengan p salah dianggap salah

Baris kurang atau dobel

Negasi implikasi ditulis sebagai implikasi

Konvers dianggap sama dengan implikasi

Kuis singkat: 3 soal

Yang sering ditanya

Ujian Matematika Diskrit sebentar lagi?